等温可逆過程とは、「等温」で、「可逆」な過程のことです。
以下に、等温可逆過程の$P-V$グラフを描きました。
いまから、A地点からB地点まで等温可逆過程で変化します。
A→Bの等温可逆過程におけるすべての地点で以下の式が成り立ちます。
$$P_{系}(V_{系})=\f{nRT_{一定}}{V_{系}}\tag1$$ また、カルノーサイクルの等温可逆過程においては、準静的過程を仮定しているので、以下が成り立ちます。
$$P_{系}(V_{系})=P_{外界}$$ よって、仕事の微小表現は以下のように表すことができます。
$$-\d W=P_{外界}{\rm d}V_{系}=P_{系}(V_{系}){\rm d}V_{系}$$これを始状態から終状態まで積分すると、この等温可逆過程によって生じた仕事の総和$-W_{{\rm A→B}}$が求めることができます。積分すると以下のようになります。
$$-W_{{\rm A→B}}=\it^{終状態}_{始状態}-\d W=\it^{V_B}_{V_A}P_{系}(V_{系}){\rm d}V_{系}$$これに、$(1)$式を代入すると、
\begin{eqnarray}
-W_{{\rm A→B}}&=&\it^{V_B}_{V_A}\f{nRT_{一定}}{V_{系}}{\rm d}V_{系}\\
&=&nRT_{一定}\it^{V_B}_{V_A}\f{1}{V_{系}}{\rm d}V_{系}\\
&=&nRT_{一定}\ln{\f{V_A}{V_B}}
\end{eqnarray}
ここで、A→Bの過程で系が外界から取り入れた熱量$Q_{\rm A→B}$を考えます。
理想気体において内部エネルギーは温度のみの関数であるので、温度変化しない等温可逆過程において、熱力学第一法則は以下のようになります。
$$ΔU_{\rm A→B}=Q_{\rm A→B}+W_{{\rm A→B}}=0$$ よって、
$$Q_{\rm A→B}=-W_{{\rm A→B}}=nRT_{一定}\ln{\f{V_A}{V_B}} $$となる。
つまり、この等温可逆過程では（今回の例であるA→Bまでの変化は体積が大きくなっているので、等温可逆膨張といえます）系が外界から取り入れた熱量$Q_{\rm A→B}$はすべて膨張仕事に使われおり、内部エネルギーの蓄積分が０であることがわかります。言い換えると、受け取った熱量をすべて仕事に変換しているのです。（熱効率100％）