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(1)$n_x=1,n_y=1$を代入して、
$$E(1.1)=\s{\f1{L_x^2}+\f1{L_y^2}}\f{h^2}{8m}$$
(2)
(3)
\begin{eqnarray}
(最低)E&=& \f{5}{4L_x^2}\f{h^2}{8m}=\f{5h^2}{32L_x^2m}(n_x,n_y)=(1,1)より縮重度1\\
(二番目)E&=&\f{8}{4L_x^2}\f{h^2}{8m}=\f{h^2}{4L_x^2m},(n_x,n_y)=(1,2)より、縮重度1 \\
(三番目)E&=&\f{13}{4L_x^2}\f{h^2}{8m}=\f{13h^2}{32L_x^2m},(n_x,n_y)=(1,3)縮重度1 \\
(四番目)E&=&\f{17}{4L_x^2}\f{h^2}{8m}=\f{17h^2}{32L_x^2m},(n_x,n_y)=(2,1) 縮重度1\\
(五番目)E&=&\f{20}{4L_x^2}\f{h^2}{8m}=\f{20h^2}{32L_x^2m},(n_x,n_y)=(1,4),(2,2)縮重度2 \\
(六番目)E&=&\f{29}{4L_x^2}\f{h^2}{8m}=\f{29h^2}{32L_x^2m},(n_x,n_y)=(1,5) 縮重度1\\
\end{eqnarray}
(4)
\begin{eqnarray}
E(n_x,n_y)&=&\f{n_x^2+4n_y^2}{4L_y^2}\f{h^2}{8m} \\
(n_x,n_y)&=&(1,2) のときなので、\\
\end{eqnarray}
Ⅱ
(1)
\begin{eqnarray}
E&=&\f{\int \psi^*\hat{H}\psi \d τ}{\int \psi^*\psi\d τ} \\
&=& \f{\int(c_A\psi_A^*+c_B\psi^*_B)\hat{H}(c_A\psi^A+c_B\psi_B)}{\int (c_A\psi_A^*+c_B\psi^*_B)(c_A\psi^A+c_B\psi_B)}\\
&=&\f{c_A^2α_A+2c_Ac_Bβ+c_B^2α_B}{c_A^2+2c_Ac_BS+c_B^2} \\
\end{eqnarray}
(2)
(1)より、
\begin{eqnarray}
(c_A^2+2c_Ac_BS+c_B^2)E&=&c_A^2α_A+2c_Ac_Bβ+c_Bα_B \\
両辺c_Aで&& 変微分して\\
2(c_A+c_BS)E+(c_A^2+2c_Ac_BS+c_B^2)\f{\p E}{\p c_A}&=&2c_Aα_A+2c_Bβ \\
\f{\p E}{\p c_A}&=&0より、 \\
(c_A+c_BS)E&=&c_Aα_A+c_Bβ \\
(α_A-E)c_A+(β-ES)c_B&=&0 \\
同様にして&、& (β-ES)c_A+(α_B-E)c_B=0となる。 \\
c_A&、& c_Bが自明な解以外を持つとき \\
{\begin{vmatrix}
α_A-E & β-ES \\
β-ES & α_B-E \\
\end{vmatrix}}&=&0となる。
\end{eqnarray}
(3)
$S=0$のとき、
\begin{eqnarray}
{\begin{vmatrix}
α_A-E & β \\
β & α_B-E \\
\end{vmatrix}}&=& 0\\
(α_A-E)(α_B-E)-β^2&=&0 \\
したがって&、& \\
E^2-(α_A+α_B)E+α_Aα_B-β&=& 0\\
よって&、& \\
E&=&\f{(α_A+α_B)±\sqrt{(α_A+α_B)^2-4(α_Aα_B-β^2)}}{2}\\
E&=&\f{(α_A+α_B)±\sqrt{(α_B-α_A)^2+4β^2}}{2} \\
\end{eqnarray}
(4)
\begin{eqnarray}
E&=&\f{α_A+α_B±(α_B-α_A)\sqrt{1+4\s{\f{β}{α_B-α_A}}^2}}{2} \\
ここで、α_B-α_A&>&>|β|なら\s{\f{β}{α_B-α_A}}^2≈0と考えていいので、\\
E&=&\f{(α_A+α_B)±(α_B-α_A)}{2} \\
&=& α_A \ , \ α_B\\
\end{eqnarray}
(5)原子A,Bのそれぞれの原子軌道エネルギーは
$E_A=\f{\int \psi^*_A\hat{H}\psi_A\d τ}{\int \psi^*_A\psi_A\d τ}=α_A$同様にして、$E_B=α_B$
したがって、安定な結合性軌道が形成されるためには、ABの分子軌道エネルギーが、原子AとBそれぞれで存在するときの原子軌道エネルギーの和よりも、分子ABの分子軌道エネルギーが低くなればより、したがって、(4)より、少なくとも$α_B-α_A≈|β|$または$α_B-α_A<<|β|$となる必要がある。