H29　物理化学標準

$$\b \df{[\R]}{t}&=&-k_1[\R]\tag1\\
\df{[\I]}{t}&=&k_1[\R]-k_2[\I]\tag2\\
\df{[\P]}{t}&=&k_2[\P]\tag3
\e $$

$(1)$式より、
$$\b \df{[\R]}{t}&=&-k_1[\R]\\
\f{\d [\R]}{[\R]}&=&-k_1\d t\\
\ln{[\R]}&=&-k_1 t+c(両辺を不定積分、cは積分定数)\tag4\\
\ln{[\R_0]}&=&c((4)式に初期条件を代入)\tag5\\
\ln{[\R]}&=&-k_1 t+\ln{[\R_0]}((5)式を(4)式に代入)\\
\ln{\fp{[\R]}{[\R_0]}}&=&-k_1 t\\
\fp{[\R]}{[\R_0]}&=&e^{-k_1 t}\\
[\R]&=&[\R_0]e^{-k_1 t}
\e$$

$$\b [\I]&=&α_1e^{-k_1t}+α_2e^{-k_2t}\tag6\\
&&(6)式と(1)-(b)の答えを(2)式に代入すると\\
\f{\d \i}{\d t}&=&-k_2\i+k_1\r\tag2\\
α_1(-k_1)e^{-k_1t}+α_2(-k_2)e^{-k_2t}&=&-k_2α_1e^{-k_1t}＋α_2(k_2)e^{-k_2t}+k_1\r_0e^{-k_1t}\\
&&e^{-k_1t}の係数を比較すると、\\
-k_1α_1&=&k_1\r_0-k_2\a_1\\
&&※ちなみにe^{-k_2t}の係数を比較しても\\
-k_2\a_2&=&-k_2\a_2\\
&&となり、この式からは何も情報を得ることができません。\\
&&以下、続き、\\
-k_1α_1&=&k_1\r_0-k_2\a_1\\
(k_2-k_1)\a_1&=&k_1\r_0\\
\a_1&=&\f{k_1}{k_2-k_1}\r_0\\
\e$$ $t=0$のとき、$\i=0$なので、これを$(2)$式に代入すると、
$$\i=\a_1+\a_2=0\\
\a_2=-\a_1=-\f{k_1}{k_2-k_1}\r_0$$

$$\b
\df{\i}{t}&=&0\\
-k_1\a_1e^{-k_1t}-k_2\a_2e^{-k_2t}&=&0\\
-k_1\a_1e^{-k_1t}&=&k_2\a_2e^{-k_2t}\\
e^{-k_1t+k_2t}&=&\f{k_2\a_2}{-k_1\a_1}\\
-k_1t+k_2t&=&\ln\left(-\f{k_2\a_2}{k_1\a_1}\right)\\
t&=&\f{1}{k_2-k_1}\ln\left(-\frac{k_2\a_2}{k_1\a_1}\right)\\
t&=&\f{1}{k_2-k_1}\ln\left(-\frac{k_2}{k_1}\right)\\
&&(\because \a_1=-a_2)
\e$$ よって、$t_{\rm max}=\f{1}{k_2-k_1}\ln\left(-\frac{k_2}{k_1}\right)$
（※増減表を書くともっと正確な果糖になりますが、ここでは増減表は省略します。）

定常状態近似とは$\df{\i}{t}=0$と仮定する近似のことです。
そのため、(1)-(d)の結果をそのまま(1)-(c)で求めた$\i$の式に代入すると$\i_{\rm ST}$を求めることができます。
(1)-(c)より
$$\i=\f{k_1}{k_2-k_1}\r_0e^{-k_1t}-\f{k_1}{k_2-k_1}\r_0e^{-k_2t} $$であるので、これに$t$に(1)-(d)の答えである$t_{\rm max}=\f{1}{k_2-k_1}\ln\left(-\frac{k_2}{k_1}\right)$を代入したものが$\i_{\rm ST}$です

$k_1>>k_2$のときに定常状態近似を用いることができます。
この問題では、２つ条件を挙げる必要があります。
申し訳ありませんが、もう一つの条件がなにであるかはわかりませんでした。