この記事は書きかけです。
$\newcommand\H{\hat{H}}\newcommand\psi{\Psi(θ)}$
(1)(a)
$$\b
\hat{H}\psi&=&E\psi \\
-\f{\hbar^2}{2mr^2}\f{\d^2}{\d θ^2}Ne^{im_lθ}&=&E×N^{im_lθ} \\
-\f{\hbar^2}{2mr^2}×(im_l)^2×Ne^{im_lθ}&=&E×N^{im_lθ} \\
\f{\hbar^2m_l^2}{2mr^2}×Ne^{im_lθ}&=&E×N^{im_lθ} \\
E&=&\f{\hbar^2m_l^2}{2mr^2} \\
\e$$
(1)(b)
一価関数であるから、回転角$θ$と$θ+2π$は同じ地点に対応する。したがって、波動関数は$2π$周期性
$$ψ_n(θ+2π)=ψ_n(θ)$$
を持たなければならない。すなわち、
$$\b
Ne^{im_l(θ+2π)}&=&Ne^{im_lθ} \\
\f{Ne^{im_l(θ+2π)}}{Ne^{im_lθ} }&=& 1\\
e^{im_l×2π}&=&1 \\
\cos(m_l×2π)+i \sin(m_l×2π)&=&1(オイラーの公式) \\
この条件を満たすためには&& \\
m_l&=&0,±1,±2,…\\
\e$$
とならなければならない。