ファントホッフの式

等温定圧下では平衡定数$K$は$ΔG$ではなく、$ΔG\stst$と密接に関係しています。つまり、平衡定数$K$は$ΔG\stst$が分かっていれば、簡単に求めることができるということです。しかし、実際の化学の現場では、平衡定数$K$は$ΔG\stst$から求められることはほとんどありません。より直接的なデータである$ΔH\stst$から求めることができるからです。逆に、異なる温度における平衡定数$K$を複数点求めることで、$ΔH\stst$を求めることもしばしばです。この平衡定数$K$と$ΔH\stst$をつなげる式をファント・ホッフの式と言います。

\begin{eqnarray}
ΔG\stst&=&-RT\ln K_{\rm p} \\
両辺をTで割って&、& \\
\f{ΔG\stst}{T}&=&-R\ln K_{\rm p} \tag{1} \\
ここで、ギブズ-ヘルムホルツの式より&、& \\
\m{\ddp{}{T}\s{\f{ΔG\stst}{T}}}_{\rm P}&=&-\f{ΔH\stst}{T^2}\tag{2} \\
いまΔG\ststを考えているので&、&各成分気体の分圧はすべて{\rm 1bar} \\
したがって、全圧も一定であることから&、&ギブズヘルムホルツの式を用いる \\
条件であるP&=&一定を満たしています。よって、 \\
(1)式を(2)式に代入すると&、& \\
\m{\ddp{}{T}-R\ln K_{\rm p}}_{\rm P}&=&-\f{ΔH\stst}{T^2}\\
-R\m{\ddp{}{T}\ln K_{\rm p}}_{\rm P}&=&-\f{ΔH\stst}{T^2}\\
\m{\ddp{\ln K_{\rm p}}{T}}_{\rm P}&=&\f{ΔH\stst}{RT^2}\\
\end{eqnarray}
となります。この式がファント・ホッフの式です。

（浸透圧に関するファント・ホッフの式もありますので、紛らわしいですね・・・(笑)）

ここで、気体定数$R$は正の定数、温度$T$は絶対温度でありますので、符号は正であります。そのため、このファント・ホッフの式から以下のことが言えます。

(1)吸熱反応($ΔH\stst>0$)のとき平衡定数$K_{\rm P}$の温度依存性は正になります。すなわち、温度が上昇するほど$K_{\rm P}$が増加します。

(2)発熱反応($Δ\stst<0$)のとき平衡定数$K_{\rm P}$の温度依存性は負になります。すなわち、温度が上昇するほど$K_{\rm P}$が減少します。

少しながながと書いてしまいましたが、つまりこれはルシャトリエの原理に従う、ごく当たり前な結論です。