熱力学的関数はギブズの自由エネルギーや、エンタルピーなどの状態変数です。
①内部エネルギーは
$U-U(0)=-\ddp{\ln Q}{β}_V$
②エントロピーは
$S=\f{U-U(0)}{T}+k\ln Q$
$$\b
Q&=&q^N(主に固体。分子が区別できる場合) \\
Q&=&\f{q^N}{N!} (主に気体。分子が区別できない場合)\\
\e $$これらの式を既知として、以下の熱力学的関数を求めます。
(a)ヘルムホルツの自由エネルギー$A$
$$\b
A&≡&U-TS \\
&=&U-T\s{\f{U-U(0)}{T}-k\ln Q} \\
&=& U(0)-kT\ln Q\\
&=&A(0)-kT\ln Q\\
&&∵T=0のとき、A≡U-TSより、U(0)=A(0)となるため、\\
A-A(0)&=&-kT\ln Q
\e$$
(b)圧力$P$
$$\b
A&=&U-TSより、 \\
\d A&=&\d U-\d(TS) \\
&=&-P\d V+T\d S-\s{S\d T+T\d S}\\
&=& -P\d V -S \d T\\
\d T&=& 0(等温)とすると、\\
\d A&=&-P\d V \\
P&=&-\ddp{A}{V}_T\\
&=&kT\ddp{\ln Q}{V}_T \tag{1}\\
\e$$
熱力学の枠内では状態方程式がなぜ成立するかは説明できませんが（経験則によるもの）、
この式を用いると、理想気体の状態方程式を説明することができます。
独立で区別することができない分子の気体の場合、
$$\b
Q&=&\f{q^N}{N!} \\
q&=&\f{V}{Λ^3} \\
Λ&=&\f{h}{\sqrt{2πmkT}} \\
\e$$
$$\b
P&=&kT\ddp{\ln Q}{V}_T \\
&=& kT\ddp{\ln \s{\frac{q^N}{N!}}}{V}_T\\
&=& kT\ddp{\ln\s{\frac{V^N}{Λ^{3N}N!}}}{V}_T\\
&=& kT\ddp{\s{N\ln V-\ln\s{Λ^{3N}N!}}}{V}_T\\
&=& NkT\ddp{\ln V}{V}_T\\
&=&\f{nkT}{V} \\
PV&=&NkT \\
&=& nN_AkT\\
&=& nRT\\
\e$$
となり、求めることができました。
(c)エンタルピー$H$
$$\b
H&≡&U+PV \\
&=&U(0)-\ddp{\ln Q}{β}_V+kTV\ddp{Q}{V}_T ((1)式より)\\
\e $$よって、理想気体のエンタルピーは
$$\b
H-H(0)&=&U-U(0)+PV \\
&=&\f{5}{2}nRT \\
&&∵U-U(0)=\f32(理想気体では) \\
\e$$
(d)ギブズの自由エネルギー
$$\b
G&≡&H-TS=A+PV \\
G-G(0)&=&A-A(0)+PV \\
&=&-kT\ln Q+kT\ddp{Q}{V}_T \\
G-G(0)&=&-kT\ln Q+nRT \\
\e $$理想気体では、
$$\b
Q&=&\f{q^N}{N!} \\
\ln Q&=&N\ln Q-\ln N! \\
\e $$であるので、
$$\b
G-G(0)&=&-NkT\ln q +kT\ln N!+nRT \\
&=& -nRT\ln q+kT\s{N\ln N-N}+nRT\\
&&(∵Stirlingの式より、\ln N!=N\ln N-N)\\
&=&-nRT\ln q+nRT\ln N-nRT+nRT \\
&=&-nRT\ln \f{q}{N} \\
G-G(0)&=&-nRT\ln \f{q_m}{N_A} \\
(q_m&=&\f{q}{n}[{\rm mol^{-1}}]とおいた）\\
\f{q}{N}&=&\f{q_m}{N_A} \\
\e $$この式からギブズの自由エネルギーは
「1分子当たりの熱的に到達できる状態の数の対数」
に比例するようである。と解釈できます。
(熱的に到達することができる状態の数＝分配関数)