以下の定理は、エルミート演算子はすべて線形エルミート演算子であるとします。
定理1
$P,Q$がエルミート演算子であるとする。$P,Q$が交換可能（可換）なら、($PQ=QP$)なら、$PQ$はエルミート演算子である。
「$PQ$はエルミート演算子である」ということは下の式が成り立つということです。
$$\b
\int\Psi_i^*\hat{P}\hat{Q}\Psi_i\d \tau&=&\int\Psi_i(\hat{P}\hat{Q})^*\Psi_i^*\d \tau \\
\e $$
以下ではこれを証明します。
$$\b
\int\Psi_i^*\hat{P}(\hat{Q}\Psi_i)\d \tau&=& \int(\hat{Q}\Psi_i)\hat{P}^*\Psi_i^*\d \tau\\
&&(\because \hat{P}はエルミートであるから) \\
&=& \int(\hat{Q}\Psi_i)(\hat{P}\Psi_i)^*\d \tau\\
&=&\int(\hat{P}\Psi_i)^*(\hat{Q}\Psi_i)\d \tau \\
&=& \int(\hat{P}\Psi_i)^*\hat{Q}\Psi_i\d \tau \\
&=& \int\Psi_i^*\hat{Q}^*(\hat{P}\Psi_i)\d \tau \\
&& (\because\hat{Q}はエルミートであるから) \\
&=& \int\Psi_i^*\hat{Q}^*\hat{P}^*\Psi_i\d \tau\\
&=& \int\Psi_i^*(\hat{Q}\hat{P})^*\Psi_i\d \tau \\
&=&\int\Psi_i^*(\hat{P}\hat{Q})^*\Psi_i\d \tau \\
&& (\because \hat{P}と\hat{Q}か交換可能であるから) \\
\e $$これで証明ができました。
※
$PとQ$が交換可能(可換であるともいう)ということは、演算の順番を交換しても結果が変わらないということです。
つまり、$\hat{P}\hat{Q}f(x)＝\hat{Q}\hat{P}f(x)$
一般的に、交換可能ではない場合、$\hat{P}\hat{Q}f(x)≠\hat{Q}\hat{P}f(x)$です。
交換可能ではない場合の具体的は、$\hat{P}=\f{\d}{\d x},\hat{Q}=x$であるときです。計算してみると、以上に挙げた式が成り立たないことがわかります。
定理２
エルミート演算子の異なる固有値に対応する固有関数は直交する。
$$\hat{F}\Psi_i=f_i\Psi_i , \hat{F}\Psi_j=f_j\Psi_j , f_i≠f_j$$なら、<\Psi_i|\Psi_j>=0
例としては、$\hat{F}$がハミルトニアン、$\Psi_i$、$\Psi_j$が異なる軌道の波動関数、$f_i$がその軌道のエネルギーとかです。
この例だと、
$$\int \Psi^*_{1s}\Psi_{2s}=0$$ であるということです。
これを証明します。
$$\b
\hat{F}\Psi_i&=&f_i\Psi_i\tag{1} \\
\hat{F}\Psi_j&=&f_i\Psi_j\tag{2} \\
&&(1)式に左から\Psi^*_j を掛けて全空間で積分します。\\
\int \Psi^*_j \hat{F}\Psi_i \d \tau&=&\int \Psi^*_j f_i\Psi_i \d \tau \\
\int \Psi^*_j \hat{F}\Psi_i \d \tau&=&f_i\int \Psi^*_j \Psi_i \d
\tau(\because f_iは定数)\tag{3} \\
&&(2)式にの両辺に*を掛けます \\
\hat{F}^*\Psi_j^*&=& f_j^*\Psi_j^*\\
\hat{F}^*\Psi_j^*&=& f_j\Psi_j^*(\because f_jは実数)\tag{2^*}\\
&& (2^*)式に左から\Psi_iを掛けて全空間で積分します。\\
\int \Psi_i\hat{F}^*\Psi_j^*\d \tau&=& \int \Psi_i f_j\Psi_j^*\d \tau\\
\int \Psi_i\hat{F}^*\Psi_j^*\d \tau&=& f_j\int \Psi_i \Psi_j^*\d \tau(\because f_iは定数)\tag{4}\\
&&\hat{F}はエルミート演算子なので、(3)式と(4)式の両辺は等しいです。 なので、\\
f_i\int \Psi^*_j \Psi_i \d \tau&=& f_j\int \Psi_i \Psi_j^*\d \tau\\
&&よって、f_i≠f_jなので、この式が成り立つならば、 \\
\int \Psi_i \Psi_j^*\d \tau&=& 0\\
\e $$よって、証明された。
定理3
$P,Q$が交換可能のときには、同時に両方の演算子の固有関数となる一組の関数が存在する。つまり、これらの演算子に対応する物理量を同時にかつ正確に記述できる。
$$\hat{F}\Psi=f_i\Psi_i,\hat{G}\Psi_i $$
定理４
交換可能なエルミート演算子$F,G$があり、一組の関数が$\hat{F}\Psi_i=f_i\Psi_i$であるなら、$<\Psi_i|\hat{G}|\Psi_j>_{i≠j}=0$である。