$\newcommand\k{ξ}\newcommand\kpm{ξ_{±}}\newcommand\fk{f(ξ_{±})}\newcommand\u{u(t,x)}\newcommand\ddf[2]{\f{\partial^2{#1}}{\partial{#2}^2}}\newcommand\x{x±vt}\newcommand\fx{f(x±vt)}\newcommand\dff[2]{\f{\partial{#1}}{\partial{#2}}}$
$$\ddf{\u}{x}=\f{1}{v^2}\ddf{\u}{t}$$は1次元の古典的波動方程式といいます。以下では、この導出方法を書きます。
波動はその形を保って空間を移動していけば、波動としての資格を持ちます。x軸正の向きに伝わる一般的な波形が、$ξ$の関数$\fk$で表されるとすると、時刻$t$、位置$x$における変位$\u$は
$$u(t,x)=f(x-vt)\tag{☆}$$と表されます。
つまり、速さ$v$で伝わる波動の変位$\u$は、一般に$x±vt$の関数$f(x±vt)$で表すことがきます。
1次元の古典的波動方程式はこの式を変形することによって出せます。以下はその変形です。
$(☆)$式を、$\kpm=x±vt$とおいて、$x$及び、$t$で２階微分します。
$$\b \dff{\u}{x}&=&\dff{f(x±vt)}{x}\\
&=&\df{\fk}{\kpm}\dff{\kpm}{x}(\because \f{\partial \kpm}{\d \kpm}=1)\\
&=&\df{\fk}{\kpm}\dff{}{x}(x±vt)\\
&=&\df{\fk}{\kpm}\tag1\\
\ddf{\u}{x}&=&\f{\partial}{\partial x}\left( \dff{\u}{x} \right)\\
&=&\f{\partial}{\partial x}\left( \df{\fk}{\kpm} \right)(\because (1)式を代入しました)\\
&=&\df{}{\kpm}\left( \df{\fk}{\kpm} \right)\dff{\kpm}{x}(\because \f{\partial \kpm}{\d \kpm}=1)\\
&=&\f{\d^2 \fk}{\d \kpm^2}\dff{}{x}(x±vt)\\
&=&\f{\d^2 \fk}{\d \kpm^2}\tag2\\
\dff{\u}{t}&=&\dff{f(x±vt)}{t}\\
&=&\df{\fk}{\kpm}\dff{\kpm}{t}(\because \f{\partial \kpm}{\d \kpm}=1)\\
&=&\df{\fk}{\kpm}\dff{}{t}(x±vt)\\
&=&±v\df{\fk}{\kpm}\tag3\\
\ddf{\u}{t}&=&\f{\partial}{\partial t}\left( \dff{\u}{t} \right)\\
&=&\f{\partial}{\partial t}\left( ±v\df{\fk}{\kpm} \right)(\because (2)式を代入しました)\\
&=&\df{}{\kpm}\left( ±v\df{\fk}{\kpm} \right)\dff{\kpm}{t}(\because \f{\partial \kpm}{\d \kpm}=1)\\
&=&±v\f{\d^2 \fk}{\d \kpm^2}\dff{}{x}(x±vt)\\
&=&(±v)(±v)\f{\d^2 \fk}{\d \kpm^2}\\
&=&v^2\f{\d^2 \fk}{\d \kpm^2}\tag4\\
&&(2)式を(4)式に代入すると、\\
\ddf{\u}{t}&=&v^2\ddf{\u}{x}\\
\ddf{\u}{x}&=&\f{1}{v^2}\ddf{\u}{t}\tag{★}
\e$$$(★)$式が1次元の古典的波動方程式といいます。