これから以下のような断熱可逆過程を考えます。
始状態をB地点、終状態をC地点とする。(A→Bではないのは、等温可逆過程とあわせて、次の記事でカルノーサイクルを説明したいからです。)
断熱可逆過程においては、外界から系への熱の流入・流出がないので過程の各瞬間で$\d Q=0$となる。したがって、熱力学第一法則${\rm d}H=\d W+\d Q$より、
$${\rm d}U=\d W_{外界→系}$$とかける。
この時、左辺、右辺をそれぞれ温度と圧力の関数として表すことを考えると以下のように表せます。
$$C_{V系}(T_{系}){\rm d}T_{系}=-P_{外界}{\rm d}V_{系}\tag1\\(\because {\rm d}U=C_{V系}(T_{系}){\rm d}T_{系},\d W_{外界→系}=-P_{外界}{\rm d}V_{系}) $$
準静的過程の条件より
$$P_{外界}=P_{系}(V_{系})\tag{a}$$ が成り立ちます。
また、断熱可逆過程において、理想気体の状態方程式より以下の式が成り立ちます。
$$P_{系}(V_{系})=\f{nRT_{系}}{V_{系}}\tag{b}$$この時、等温可逆過程のときと違うところは、温度$T$が$T_{系}$と変数になっているところです。(等温可逆過程のときはもちろん$T_{一定}$)
そして、この条件$(a), (b)$を$(1)$式に代入すると、以下のようになります。
$$C_{V系}(T_{系}){\rm d}T_{系}=-\f{nRT_{系}}{V_{系}}{\rm d}V_{系}$$
以降、煩雑になるのを避けるため、系の添字を省略します。
そうすると、先程の式は以下のように表せ、更に、変数分離をしていくと以下のようになります。
\begin{eqnarray}
C_V(T){\rm d}T&=&-\f{nRT}{V}{\rm d}V\\
\f{C_{V}(T)}{T}{\rm d}T&=&-\f{nR}{V}{\rm d}V\tag2
\end{eqnarray}
このとき、仮定として、$T_H$(B地点での温度)から$T_L$(C地点での温度)の温度範囲において、$C_{V}(T)=C_{V}=定数$（本当は$C_V$は温度$T$に依存する関数です。）とします。
そして、$(2)$式を始状態から終状態まで積分すると以下のようになります。
\begin{eqnarray}
\it^{T_L}_{T_H}\f{C_V}{T}{\rm d}T&=&\it^{V_3}_{V_2}-\f{nR}{V}{\rm d}V\\
C_V\ln{\f{T_L}{T_H}}&=&-nR\ln{\f{V_3}{V_2}}\\
\ln{\f{T_L}{T_H}}&=&\ln{\fp{V_3}{V_2}}^{-\frac{nR}{C_V}}\\
\f{T_L}{T_H}&=&\fp{V_3}{V_2}^{-\frac{nR}{C_V}}(\because 対数の中身を比較)
\end{eqnarray} この式に、マイヤーの関係式、$C_P=C_V+nR⇔nR=C_P-C_V$を代入すると、以下のようになります。
\begin{eqnarray}
\f{T_L}{T_H}&=&\fp{V_C}{V_B}^{-\frac{C_P-C_V}{C_V}}\\
\f{T_L}{T_H}&=&\fp{V_C}{V_B}^{-{\frac{C_P}{C_V}-1}}
\end{eqnarray}
このとき、熱容量比$γ≡\f{C_P}{C_V}$を定義すると、この式は以下のようにかけます。
\begin{eqnarray}
\f{T_L}{T_H}&=&\fp{V_C}{V_B}^{-(γ-1)}\\
\f{T_L}{T_H}&=&\fp{V_B}{V_C}^{γ-1}(\because 分数のBとCの分母と分子を入れ替えました)\\
T_HV_B^{γ-1}&=&T_LV_C^{γ-1}
\end{eqnarray}
したがって、断熱可逆仮定において、任意の断熱可逆過程上において次のような表現も可能です。($T_H$はB地点での温度、$T_L$はC地点での温度でした。)
$$TV^{γ-1}＝一定\tag{☆}$$$(☆)$式に理想気体の状態方程式$T=\f{PV}{nR}$を代入すると、
\begin{eqnarray}
\f{PV}{nR}V^{γ-1}&＝&一定\\
PV×V^{γ-1}&=&一定(\because nR=定数)\\
PV^{γ}&=&一定\tag{★}
\end{eqnarray}
一般的に
$(☆)$式の$TV^{γ-1}＝一定$と
$(★)$式の$PV^{γ}=一定$
をポアソンの式といいます。
断熱可逆過程における系と外界のエネルギー収支を求めるため、系が受け取る熱量と系が外界になす仕事量を求めます。まず、系が受け取る熱量は断熱過程なので、その名の通り、０になる。すると、系は熱エネルギーの流入なしで仕事をしなければなりません。そのためのエネルギーは内部エネルギーを使うしかありません。ここで、系が状態Bから状態Cに向かうとき、温度は$T_H$から$T_L$に下がります。この温度変化範囲では熱容量$C_V=一定$であると仮定していました。また、理想気体の場合(上でそう仮定しています)、分子間に相互作用がなく、気体分子同士を引き離すのに、すなわち体積を膨張させても内部エネルギーは変わりません。そのため、理想気体に限り、体積が変わっても$dU=C_V(T){\rm d}T$が成り立ちます。（※いまは関係ないですが、$dH=C_P(T){\rm d}T$も成り立ちます。）そのため、状態Bから状態Cまで積分すると、
\begin{eqnarray}
\it^{U_C}_{U_B}dU&=&\it^{T_L}_{T_H}C_V{\rm d}T\\
ΔU_{B→C}&=&C_V(T_L-T_H)
\end{eqnarray}
また、熱力学第一法則より$ΔU_{B→C}=Q_{B→C}+W_{B→C}$で、$Q_{B→C}=0$（断熱）であるから、この過程で系が外界にした仕事$-W_{B→C}$は
$$-W_{B→C}＝-ΔU_{B→C}=-C_V(T_L-T_H) $$と表すことができます。