カルノーサイクル

カルノーサイクルは等温可逆過程と断熱可逆過程の組み合わせにより構成されています。
以下にカルノーサイクルのグラフを描いてみました。

以上のように、カルノーサイクルは等温可逆膨張→断熱可逆膨張→等温可逆収縮→断熱可逆収縮により１サイクルが構成されています。
等温可逆膨張と断熱可逆膨張はリンクの記事で説明しました。
また、逆に、等温可逆収縮と断熱可逆収縮の結果(仕事$-W$や熱量$Q$)はそれぞれの膨張のときと逆になるだけです。そのため、以下では、等温可逆過程と断熱可逆過程がわかっている前提で記述していきます。

まず、カルノーサイクルを１周回したときの、系が外界から受け取った正味の熱量$Q_{\rm cycle}$を求めます。
$$\begin{eqnarray} Q_{\rm cycle}&=&Q_{A→B}+Q_{B→C}+Q_{C→D}+Q_{D→A}\\ Q_{\rm cycle}&=&nRT_H\ln{\f{V_B}{V_A}}+0+nRT_L\ln{\f{V_D}{V_C}}+0\\ Q_{\rm cycle}&=&nRT_H\ln{\f{V_B}{V_A}}+nRT_L\ln{\f{V_D}{V_C}}\tag1 \end{eqnarray}$$
となる。ここで、断熱可逆過程におけるポアソンの式$TV^{γ-1}=一定$より、
$$T_HV_B^{γ-1}=T_LV_C^{γ-1}\\ T_HV_A^{γ-1}=T_LV_D^{γ-1}$$ が成り立ちます。
それぞれ、このポアソンの左辺同士、右辺同士で割り算すると、
$$\begin{eqnarray} \fp{V_B}{V_A}^{γ-1}&=&\fp{V_C}{V_D}^{γ-1}\\ \f{V_B}{V_A}&=&\f{V_C}{V_D}（\because 体積は正、γ=\f{C_P}{C_V}>1）\tag2 \end{eqnarray}$$
となります。ここで$(2)$式を用いて$(1)$式を整理すると以下のようになります。
$$Q_{\rm cycle}=nR(T_H-T_L)\ln{\f{V_B}{V_A}}\tag3$$ 次に１サイクル分で系が外界にした正味の仕事を考えてみます。
$$\begin{eqnarray} -W_{\rm cycle}&=&-W_{A→B}+(-W_{B→C})+(-W_{C→D})+(-W_{D→A})\\ -W_{\rm cycle}&=&nRT_H\ln{\f{V_B}{V_A}}+\{-C_V(T_L-T_H)\}+nRT_L\ln{\f{V_D}{V_C}}+\{-C_V(T_H-T_L)\}\\ -W_{\rm cycle}&=&nRT_H\ln{\f{V_B}{V_A}}+nRT_L\ln{\f{V_D}{V_C}} \end{eqnarray}$$
ここで、$(2)$式を用いてこの式を整理すると、
$$-W_{\rm cycle}=nR(T_H-T_L)\ln{\f{V_B}{V_A}}\tag4$$ となります。
これで、$(3)$式と$(4)$式より、カルノーサイクルが一巡したときの系が受け取った総熱量と、系が外界にした総仕事量が求まりました。
これを求めたのは、このカルノーサイクルが一巡してもとの状態に戻ってきたときに、熱力学第一法則が成り立っているかどうか確認するためです。
元の状態に戻ったならば、状態量である内部エネルギーは同じはずです。なので、$ΔU_{\rm cycle}＝０$が成り立たなくてはなりません。それを確認するのは簡単で、実際に代入すると、
$$\begin{eqnarray} ΔU_{\rm cycle}&=&Q_{\rm cycle}+W_{\rm cycle}\\ ΔU_{\rm cycle}&=&Q_{\rm cycle}-(-W_{\rm cycle})\\ ΔU_{\rm cycle}&=&nR(T_H-T_L)\ln{\f{V_B}{V_A}}-\{nR(T_H-T_L)\ln{\f{V_B}{V_A}}\}\\ ΔU_{\rm cycle}&=&0 \end{eqnarray}$$
となります。確かに熱力学第一法則を満たしています。

つぎに、カルノーサイクルにおける熱から仕事への変換効率について書きます。
サイクルの熱の仕事への変換効率とは系が高音部で受け取った熱量のうち、どれだけを膨張仕事に変換できたかの割合のことを指し、通常、$μ$と表記されます。今回のカルノーサイクルにおける変換効率を計算すると以下のようになります。
$$\begin{eqnarray} μ&=&\f{-W_{\rm cycle}}{Q_{A→B}}\\ μ&=&\f{nR(T_H-T_L)\ln{\frac{V_B}{V_A}}}{nRT_H\ln{\frac{V_B}{V_A}}}\\ μ&=&\f{T_H-T_L}{T_H}\\ μ&=&1-\f{T_L}{T_H}\\ \end{eqnarray}$$
ここで、可逆なカルノーサイクルを用いて熱を仕事に変換させるには、どの温度で熱を受取り、どの温度で熱を捨てるかが、唯一その変換効率を決めていることが分かります。変換効率が１となるには、低温部が絶対零度、もしくは高温部が無限高温である必要があります。事実上、絶対零度と無限高温は実現不可能なので、この可逆サイクルであるカルノーサイクルを持ってしても系が受け取った熱エネルギーのすべてを仕事エネルギーに変換することは不可能であるといえます。