H27 物理化学分野2

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熱力学第一法則より、
$$\begin{eqnarray} \d U&=&δQ+δW \\ 断熱過程より&、&δQ=0で、\d U=C_V\d T なので\\ C_V\d T&=&δW \\ &=& -P_{外界}\d V\\ &=& -P_{系}\d V(\because 準静的過程)\\ &=&-\f{nRT}{V}\d V(\because 理想気体の状態方程式)\\ \f{C_V}{nR}\f{\d T}{T}&=&-\f{-\d V}{V}\\ (T_1,V_1)&→&(T_2,T_2)で両辺積分すると\\ \f{C_V}{nR}\int^{T_2}_{T_1}\f{\d T}{T}&=&-\int^{V_2}_{V_1}\f{\d V}{V}\\ \f{C_V}{nR}\ln \f{T_2}{T_1}&=&-\ln \f{V_2}{V_1}\\ \ln \f{T_2}{T_1}&=&-\f{nR}{C_V}\ln \f{V_2}{V_1}\\ \f{T_2}{T_1}&=&-\s{ \f{V_2}{V_1}}^{\frac{nR}{C_V}}\\ \f{T_2}{T_1}&=&-\s{ \f{V_2}{V_1}}^{γ-1}\\ \f{T_2}{T_1}&=&\s{ \f{V_1}{V_2}}^{γ-1}\\ T_2V_2^{γ-1}&=&T_1V_1^{γ-1}\\ よって&、&\\ TV^{γ-1}&=&一定 \\ これにT&=&\f{PV}{nR}を代入すると \\ \f{PV}{nR}V^{γ-1}&=&一定 \\ PV^{γ}&=&一定 \\ \end{eqnarray}$$
が成り立つ。