熱力学第一法則より、
\begin{eqnarray}
\d U&=&δQ+δW \\
断熱過程より&、&δQ=0で、\d U=C_V\d T なので\\
C_V\d T&=&δW \\
&=& -P_{外界}\d V\\
&=& -P_{系}\d V(\because 準静的過程)\\
&=&-\f{nRT}{V}\d V(\because 理想気体の状態方程式)\\
\f{C_V}{nR}\f{\d T}{T}&=&-\f{-\d V}{V}\\
(T_1,V_1)&→&(T_2,T_2)で両辺積分すると\\
\f{C_V}{nR}\int^{T_2}_{T_1}\f{\d T}{T}&=&-\int^{V_2}_{V_1}\f{\d V}{V}\\
\f{C_V}{nR}\ln \f{T_2}{T_1}&=&-\ln \f{V_2}{V_1}\\
\ln \f{T_2}{T_1}&=&-\f{nR}{C_V}\ln \f{V_2}{V_1}\\
\f{T_2}{T_1}&=&-\s{ \f{V_2}{V_1}}^{\frac{nR}{C_V}}\\
\f{T_2}{T_1}&=&-\s{ \f{V_2}{V_1}}^{γ-1}\\
\f{T_2}{T_1}&=&\s{ \f{V_1}{V_2}}^{γ-1}\\
T_2V_2^{γ-1}&=&T_1V_1^{γ-1}\\
よって&、&\\
TV^{γ-1}&=&一定 \\
これにT&=&\f{PV}{nR}を代入すると \\
\f{PV}{nR}V^{γ-1}&=&一定 \\
PV^{γ}&=&一定 \\
\end{eqnarray}
が成り立つ。
